Teoria
do caos, para a física e a matemática, é a teoria que explica o funcionamento
de sistemas complexos e dinâmicos. Em sistemas dinâmicos complexos,
determinados resultados podem ser "instáveis" no que diz respeito à
evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa
que certos resultados determinados são causados pela ação e a iteração de
elementos de forma praticamente aleatória. Para entender o que isso significa,
basta pegar um exemplo na natureza, onde esses sistemas são comuns. A formação
de uma nuvem no céu, por exemplo, pode ser desencadeada e se desenvolver com
base em centenas de fatores que podem ser o calor, o frio, a evaporação da
água, os ventos, o clima, condições do Sol, os eventos sobre a superfície e
inúmeros outros.
Além
disso, mesmo que o número de fatores influenciando um determinado resultado
seja pequeno, ainda assim a ocorrência do resultado esperado pode ser instável,
desde que o sistema seja não-linear.
A
consequência desta instabilidade dos resultados é que mesmo sistemas
determinísticos (os quais tem resultados determinados por leis de evolução bem
definidas) apresentem uma grande sensibilidade a perturbações (ruído) e erros,
o que leva a resultados que são, na prática, imprevisíveis ou aleatórios,
ocorrendo ao acaso. Mesmo em sistemas nos quais não há ruído, erros
microscópicos na determinação do estado inicial e atual do sistema podem ser
amplificados pela não-linearidade ou pelo grande número de interações entre os
componentes, levando ao resultado aleatório. É o que se chama de "Caos
Determinístico".
Na
verdade, embora a descrição da mecânica clássica e relativística seja
determinística, a complexidade da maioria dos sistemas leva a uma abordagem na
qual a maioria dos graus de liberdade microscópicos é tratada como ruído
(variáveis estocásticas, ou seja, que apresentam valores verdadeiramente
aleatórios) e apenas algumas variáveis são analisadas com uma lei de
comportamento determinada, mais simples, sujeita à ação deste ruído. Este
método foi utilizado por Einstein e Langevin no início do século XX para
compreender o Movimento Browniano.
Pois,
é exatamente isso que os matemáticos querem prever: o que as pessoas pensam que
é acaso mas, na realidade, é um fenômeno que pode ser representado por
equações. Alguns pesquisadores já conseguiram chegar a algumas equações capazes
de simular o resultado de sistemas como esses, ainda assim, a maior parte
desses cálculos prevê um mínimo de constância dentro do sistema, o que
normalmente não ocorre na natureza.
Os
cálculos envolvendo a Teoria do Caos são utilizados para descrever e entender
fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado
financeiro e movimentos de placas tectônicas, entre outros. Uma das mais
conhecidas bases da teoria é o chamado "efeito borboleta", teorizado
pelo matemático Edward Lorenz, em 1963.
A
ideia é que uma pequena variação nas condições em determinado ponto de um
sistema dinâmico pode ter consequências de proporções inimagináveis. "O
bater de asas de uma borboleta em Tóquio pode provocar um furacão em Nova
Iorque."
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| Galileu, Newton e Laplace. |
Galileu
Galilei introduziu algumas das bases da metodologia científica presas à
simplicidade da obtenção de resultados. Segundo aquela metodologia, a ciência
continuou gradualmente a sua expansão em direção à determinação das realidades
físicas.
Com
Isaac Newton, surgiram as leis que regem a Mecânica determinista Clássica e a
determinação de que a posição espacial de duas massas gravitacionais poderia
ser prevista. Havendo portanto uma explicação plausível da órbita terrestre em
relação ao Sol.
Portanto,
o comportamento de três corpos gravitacionais poderia ser perfeitamente
previsível, apesar do trabalho aumentado em função de mais dados inseridos para
a execução dos cálculos necessários à determinação de posição.
Porém,
ao se acrescentarem mais corpos massivos para as determinações de posições,
começaram a ocorrer certos desvios imprevisíveis. Newton traduziu estes desvios
ou efeitos através de equações diferenciais que mostravam que o sistema em sua
evolução tendia para a formação de um sistema de equações diferenciais
não-lineares.
Ao
se encontrar no estudo do sistema gravitacional equações diferenciais não
lineares, estas se tornavam impossíveis de ser resolvidas. Laplace afirmou que
“...(sic) uma inteligência conhecendo todas as variáveis universais em
determinado momento, poderia compor numa só fórmula matemática a unificação de
todos os movimentos do Universo". Consequentemente deixariam de existir
para esta inteligência o passado e o futuro, pois aos seus olhos todos os
eventos seriam resultantes do momento presente.
Perseguindo
a harmonia da física de então, na busca de uma resposta para a unificação da
natureza, Laplace formulou e desenvolveu os princípios da teoria das
probabilidades, trabalhou nas equações diferenciais, criou a transformada de
Laplace além de estudar a equação de Laplace.
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| Henri Poincaré |
Henri
Poincaré em 1880 aproximadamente, pesquisou os problemas relacionados à
impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca
das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos. Seu objetivo era
descrever o que ocorreria matematicamente quando da introdução de uma massa
gravitacional complementar num sistema duplo, isto é, passando a análise de
dois para três corpos gravitacionais interagindo mutuamente. Verificou que numa
análise mais ampla, não se atendo a detalhes quantitativos e fazendo
comparações qualitativas, isto é, enxergando o sistema como um todo. Acabou
descobrindo que os sistemas de massas gravitacionais triplas evoluíam sempre
para formas cujo equilíbrio era irregular. As órbitas mútuas tendiam a não ser
periódicas, tornavam-se complexas e irregulares.
Poincaré
descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e
regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas
verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem
natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aleatórios.
Os
resultados observados que levavam à confusão e à desarmonia, não condiziam com
a harmonia que ocorria na mecânica clássica. Poincaré neste seu trabalho acabou
por descobrir uma possibilidade da existência de um sistema desordenado, com
variáveis ao acaso. Na época não houve um interesse prático na sua teoria de
órbitas irregulares, sendo muitas vezes considerada a teoria uma aberração
matemática. Continuaram havendo alguns estudos esparsos por outros matemáticos,
porém como curiosidade sobre os Sistemas dinâmicos não-lineares.
Um
conjunto de objetos estudados que se inter-relacionem é chamado de sistema.
Entre os sistemas consideram-se duas categorias: lineares e não-lineares, que
divergem entre si na sua relação de causa e efeito. Na primeira, a resposta a
um distúrbio é diretamente proporcional à intensidade deste. Já na segunda, a
resposta não é necessariamente proporcional à intensidade do distúrbio, e é
esta a categoria de sistemas que servem de objeto à teoria do caos, mais
conhecidos como sistemas dinâmicos não-lineares.
Esta
teoria estuda o comportamento aleatório e imprevisível dos sistemas, mostrando
uma faceta em que podem ocorrer irregularidades na uniformidade da natureza
como um todo. Isto ocorre a partir de pequenas alterações que aparentemente
nada têm a ver com o evento futuro, alterando toda uma previsão física dita
precisa.
Uma
das ideias centrais desta teoria, é que os comportamentos casuais (aleatórios)
também são governados por leis e que estas podem predizer dois resultados para
uma entrada de dados. O primeiro é uma resposta ordenada e lisa, sendo que o
futuro dos eventos ocorre dentro de margens estatísticas de erros previsíveis.
O segundo é uma resposta também ordenada, onde porém a resultante futura dos
eventos é corrugada, onde a superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma
contradição neste ponto onde é previsível que os resultados de um determinado sistema
serão caóticos.
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| Atrator estranho de Lorenz |
Ao
efeito da realimentação do erro foi chamado mais tarde por Lorenz de Efeito
Borboleta, ou seja uma dependência sensível dos resultados finais às condições
iniciais da alimentação dos dados. Assim, havendo uma distância, mesmo que ínfima,
entre dois pontos iniciais diferentes, depois de um tempo os pontos estariam
completamente separados e irreconhecíveis.
Normalmente
este efeito é ilustrado com a noção de que o bater das asas de uma borboleta
num extremo do globo terrestre, pode provocar uma tormenta no outro extremo no
intervalo de tempo de semanas.
É
por esse motivo que as previsões meteorológicas possuem erros. Para evitar tais
erros precisariamos de medidas exatas de muitas variáveis (pressão,
temperatura...) em praticamente todos os pontos do globo terreste, o que,
atualmente, é impraticável. Além da falta de medidas, as medidas tomadas
possuem ainda um certo grau de erro, gerando os problemas que conhecemos para
as previsões.
Atrator:
Um
atrator é um ponto (ou o conjunto dos pontos atratores, dependendo o contexto)
para o qual toda órbita que passar por um ponto suficientemente próximo
converge para o ponto, isto é, fica indefinidamente próximo bastando para isso
esperar um tempo suficiente.
No
caso de um campo de vetores, um atrator é sempre uma singularidade: se o
atrator for o estado inicial, ele será o estado atingido para todo tempo
passado e futuro. Por exemplo, uma bola rolando por uma superfície plana com
atrito pára. O atrator desse sistema dinâmico é o conjunto dos pontos (ou
estados) em que a bola está parada.
Ao
observarmos os resultados dos estados das Equações de Lorenz e os
representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma
convergência em direção a algo que se chama atrator estranho.
A
convergência não será simples como nos casos prescritos para o caso
bidimensional pelo teorema de Poincaré-Bendixson. A órbita de um ponto genérico
se aproximará dos dois pontos (que são singularidades do campo) alternadamente.
E quanto mais avançamos na órbita, certos padrões semelhantes a conjuntos de
Cantor aparecem nas interseções.
Até
a década de 1980, os físicos defendiam a tese de que o universo era governado
por leis precisas e estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser
previstos. Porém a teoria do caos mostrou que certos eventos universais podem
ter ocorrido de modo aleatório.
Quando
se estudam os mecanismos que procuram descrever a teoria do caos, os
pesquisadores se deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas as
partes do desenvolvimento teórico.
Bons
exemplos de sistemas caóticos são o crescimento de lavouras e a formação de
tempestades, onde qualquer pequena alteração, direção, velocidade de ventos por
exemplo, pode provocar grandes mudanças num espaço de tempo maior.
Os
fractais são figuras da geometria não-Euclidiana. A partir dos estados de um
determinado sistema onde existem variáveis tais como massa, pressão,
temperatura, velocidade, posição, etc, estes podem ser representados por
coordenadas, num determinado espaço cuja configuração pode ser considerada
multidimensional, de um ponto cujas coordenadas são determinadas pelas
variáveis. Na física clássica podemos descrever o comportamento de um sistema
dinâmico geometricamente como o movimento de um atrator. Já nos sistemas
considerados caóticos, os atratores são denominados atratores estranhos, isto
ocorre pelo elevado grau de incerteza dos resultados destes sistemas.
Os
atratores estranhos devem ter estruturas detalhadas em todas as escalas de
magnificação. Em função disto foi desenvolvido um modelo conceitual chamado
fractal, que tem uma forma geométrica complexa e exibe uma formação estrutural
que tem uma propriedade chamada de auto-similaridade. Estes sistemas complexos
tornaram possível o progresso no processamento de dados gráfico.
As
idéias que devem ser levadas em conta num sistema caótico básico são três:
- Atratores
- Espaço de fase
- Fractais
Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_Caos
